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Participar en la adquisición del conocimiento matemático consiste en el
dominio de su «forma de hacer». Este «saber hacer matemáticas» es un
proceso laborioso que comienza por una intensa actividad sobre elementos
concretos, con objeto de crear intuiciones previas necesarias para la
formalización. A menudo, los aspectos conceptuales no son más que medios
para la práctica de estrategias, para incitar a la exploración, la
formulación de conjeturas, el intercambio de ideas y la renovación de
los conceptos ya adquiridos.
Los contenidos de Matemáticas, como materia de
modalidad en el bachillerato de Ciencias y Tecnología, giran sobre dos
ejes fundamentales: la geometría y el análisis. Estos cuentan con el
necesario apoyo instrumental de la aritmética, el álgebra y las
estrategias propias de la resolución de problemas. En Matemáticas I, los
contenidos relacionados con las propiedades generales de los números y
su relación con las operaciones, más que en un momento determinado deben
ser trabajados en función de las necesidades que surjan en cada momento
concreto. A su vez, estos contenidos se complementan con nuevas
herramientas para el estudio de la estadística y la probabilidad,
culminando así todos los campos introducidos en la educación secundaria
obligatoria, independientemente de que se curse la materia de
Matemáticas II. La introducción de matrices e integrales en Matemáticas
II aportará nuevas y potentes herramientas para la resolución de
problemas geométricos y funcionales.
Estos contenidos proporcionan técnicas básicas, tanto para estudios
posteriores como para la actividad profesional. No se trata de que los
estudiantes posean muchas herramientas matemáticas, sino las
estrictamente necesarias y que las manejen con destreza y oportunidad,
facilitándoles las nuevas fórmulas e identidades para su elección y uso.
Nada hay más alejado del «pensar matemáticamente» que una memorización
de igualdades cuyo significado se desconoce, incluso aunque se apliquen
adecuadamente en ejercicios de cálculo.
En esta etapa aparecen nuevas funciones de una variable. Se pretende que
los alumnos sean capaces de distinguir las características de las
familias de funciones a partir de su representación gráfica, así como
las variaciones que sufre la gráfica de una función al componerla con
otra o al modificar de forma continua algún coeficiente en su expresión
algebraica. Con la introducción de la noción intuitiva de límite y
geométrica de derivada, se establecen las bases del cálculo
infinitesimal en Matemáticas I, que dotará de precisión el análisis del
comportamiento de la función en las Matemáticas II. Asimismo, se
pretende que los estudiantes apliquen estos conocimientos a la
interpretación del fenómeno modelado.
Las matemáticas contribuyen a la adquisición de aptitudes y conexiones
mentales cuyo alcance transcienden el ámbito de esta materia; forman en
la resolución de problemas genuinos -aquellos donde la dificultad está
en encuadrarlos y encontrar una estrategia de resolución-, generan
hábitos de investigación y proporcionan técnicas útiles para enfrentarse
a situaciones nuevas. Estas destrezas, ya iniciadas en los niveles
previos, deberán ampliarse ahora que aparecen nuevas herramientas,
enriqueciendo el abanico de problemas abordables y la profundización en
los conceptos implicados.
Las herramientas tecnológicas, en particular el uso de calculadoras y
aplicaciones informáticas como sistemas de álgebra computacional o de
geometría dinámica, pueden servir de ayuda tanto para la mejor
comprensión de conceptos y la resolución de problemas complejos como
para el procesamiento de cálculos pesados, sin dejar de trabajar la
fluidez y la precisión en el cálculo manual simple, donde los
estudiantes suelen cometer frecuentes errores que les pueden llevar a
falsos resultados o inducir a confusión en sus conclusiones.
La resolución de problemas tiene carácter transversal y será objeto de
estudio relacionado e integrado en el resto de los contenidos. Las
estrategias que se desarrollan constituyen una parte esencial de la
educación matemática y activan las competencias necesarias para aplicar
los conocimientos y habilidades adquiridas en contextos reales. La
resolución de problemas debe servir para que el alumnado desarrolle una
visión amplia y científica de la realidad, para estimular la creatividad
y la valoración de las ideas ajenas, la habilidad para expresar las
ideas propias con argumentos adecuados y el reconocimiento de los
posibles errores cometidos.
Las definiciones formales, las demostraciones (reducción al absurdo,
contraejemplos) y los encadenamientos lógicos (implicación,
equivalencia) dan validez a las intuiciones y confieren solidez a las
técnicas aplicadas. Sin embargo, éste es el primer momento en que el
alumno se enfrenta con cierta seriedad al lenguaje formal, por lo que el
aprendizaje debe ser equilibrado y gradual. El simbolismo no debe
desfigurar la esencia de las ideas fundamentales, el proceso de
investigación necesario para alcanzarlas, o el rigor de los
razonamientos que las sustentan. Deberá valorarse la capacidad para
comunicar con eficacia esas ideas aunque sea de manera no formal. Lo
importante es que el estudiante encuentre en algunos ejemplos la
necesidad de la existencia de este lenguaje para dotar a las
definiciones y demostraciones matemáticas de universalidad,
independizándolas del lenguaje natural.
Por último, es importante presentar la matemática como una ciencia viva
y no como una colección de reglas fijas e inmutables. Detrás de los
contenidos que se estudian hay un largo camino conceptual, un constructo
intelectual de enorme magnitud, que ha ido evolucionando a través de la
historia hasta llegar a las formulaciones que ahora manejamos.
Objetivos
La enseñanza de las Matemáticas en el bachillerato tendrá como finalidad
el desarrollo de las siguientes capacidades:
1. Comprender y aplicar los conceptos y procedimientos matemáticos a
situaciones diversas que permitan avanzar en el estudio de las propias
matemáticas y de otras ciencias, así como en la resolución razonada de
problemas procedentes de actividades cotidianas y diferentes ámbitos del
saber.
2. Considerar las argumentaciones razonadas y la existencia de
demostraciones rigurosas sobre las que se basa el avance de la ciencia y
la tecnología, mostrando una actitud flexible, abierta y crítica ante
otros juicios y razonamientos.
3. Utilizar las estrategias características de la investigación
científica y las destrezas propias de las matemáticas (planteamiento de
problemas, planificación y ensayo, experimentación, aplicación de la
inducción y deducción, formulación y aceptación o rechazo de las
conjeturas, comprobación de los resultados obtenidos) para realizar
investigaciones y en general explorar situaciones y fenómenos nuevos.
4. Apreciar el desarrollo de las matemáticas como un proceso cambiante y
dinámico, con abundantes conexiones internas e íntimamente relacionado
con el de otras áreas del saber.
5. Emplear los recursos aportados por las tecnologías actuales para
obtener y procesar información, facilitar la comprensión de fenómenos
dinámicos, ahorrar tiempo en los cálculos y servir como herramienta en
la resolución de problemas.
6. Utilizar el discurso racional para plantear acertadamente los
problemas, justificar procedimientos, encadenar coherentemente los
argumentos, comunicarse con eficacia y precisión, detectar
incorrecciones lógicas y cuestionar aseveraciones carentes de rigor
científico.
7. Mostrar actitudes asociadas al trabajo científico y a la
investigación matemática, tales como la visión crítica, la necesidad de
verificación, la valoración de la precisión, el interés por el trabajo
cooperativo y los distintos tipos de razonamiento, el cuestionamiento de
las apreciaciones intuitivas y la apertura a nuevas ideas.
8. Expresarse verbalmente y por escrito en situaciones susceptibles de
ser tratadas matemáticamente, comprendiendo y manejando términos,
notaciones y representaciones matemáticas.
Matemáticas I
Contenidos
1. Aritmética y álgebra:
- Números reales. Valor absoluto. Desigualdades. Distancias entre la
recta real. Intervalos y entornos.
- Resolución e interpretación gráfica de ecuaciones e inecuaciones.
- Utilización de las herramientas algebraicas en la resolución de
problemas.
2. Geometría:
- Medida de un ángulo en radianes. Razones trigonométricas de un ángulo.
Uso de fórmulas y transformaciones trigonométricas en la resolución de
triángulos y problemas geométricos diversos.
- Vectores libres en el plano. Operaciones. Producto escalar. Módulo de
un vector.
- Ecuaciones de la recta. Posiciones relativas de rectas. Distancias y
ángulos. Resolución de problemas.
- Idea de lugar geométrico en el plano. Cónicas.
3. Análisis:
- Funciones reales de variable real: clasificación y características
básicas de las funciones polinómicas, racionales sencillas, valor
absoluto, parte entera, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.
- Dominio, recorrido y extremos de una función.
- Operaciones y composición de funciones.
- Aproximación al concepto de límite de una función, tendencia y
continuidad.
- Aproximación al concepto de derivada. Extremos relativos en un
intervalo.
- Interpretación y análisis de funciones sencillas, expresadas de manera
analítica o gráfica, que describan situaciones reales.
4. Estadística y Probabilidad:
- Distribuciones bidimensionales. Relaciones entre dos variables
estadísticas. Regresión lineal.
- Estudio de la probabilidad compuesta, condicionada, total y a
posteriori.
- Distribuciones binomial y normal como herramienta para asignar
probabilidades a sucesos.
Criterios de evaluación
1. Utilizar correctamente los números reales y sus operaciones para
presentar e intercambiar información; estimar los efectos de las
operaciones sobre los números reales y sus representaciones gráfica y
algebraica y resolver problemas extraídos de la realidad social y de la
naturaleza que impliquen la utilización de ecuaciones e inecuaciones,
así como interpretar los resultados obtenidos.
Se pretende comprobar con este criterio la adquisición de las destrezas
necesarias para la utilización de los números reales, incluyendo la
elección de la notación, las aproximaciones y las cotas de error acordes
con la situación. Asimismo, se pretende evaluar la comprensión de las
propiedades de los números, del efecto de las operaciones y del valor
absoluto y su posible aplicación. También se debe valorar la capacidad
para traducir algebraicamente una situación y llegar a su resolución,
haciendo una interpretación de los resultados obtenidos.
2. Transferir una situación real a una esquematización geométrica y
aplicar las diferentes técnicas de resolución de triángulos para
enunciar conclusiones, valorándolas e interpretándolas en su contexto
real; así como, identificar las formas correspondientes a algunos
lugares geométricos del plano, analizar sus propiedades métricas y
construirlos a partir de ellas.
Se pretende evaluar la capacidad para representar geométricamente una
situación planteada, eligiendo y aplicando adecuadamente las
definiciones y transformaciones geométricas que permitan interpretar las
soluciones encontradas; en especial, la capacidad para incorporar al
esquema geométrico las representaciones simbólicas o gráficas auxiliares
como paso previo al cálculo. Asimismo, se pretende comprobar la
adquisición de las capacidades necesarias en la utilización de técnicas
propias de la geometría analítica para aplicarlas al estudio de las
ecuaciones reducidas de las cónicas y de otros lugares geométricos
sencillos.
3. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en
dos dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver
los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las
soluciones.
La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el
lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como
instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende
valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones
sucesivas con objetos geométricos en el plano.
4. Identificar las funciones habituales dadas a través de enunciados,
tablas o gráficas, y aplicar sus características al estudio de fenómenos
naturales y tecnológicos.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a
situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información
suministrada por el estudio de las funciones. Particularmente, se
pretende comprobar la capacidad de traducir los resultados del análisis
al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y extraer conclusiones
sobre su comportamiento local o global.
5. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para
encontrar e interpretar características destacadas de funciones
expresadas analítica y gráficamente.
Se pretende comprobar con este criterio la capacidad de utilizar
adecuadamente la terminología y los conceptos básicos del análisis para
estudiar las características generales de las funciones y aplicarlas a
la construcción de la gráfica de una función concreta. En especial, la
capacidad para identificar regularidades, tendencias y tasas de
variación, locales y globales, en el comportamiento de la función,
reconocer las características propias de la familia y las particulares
de la función, y estimar los cambios gráficos que se producen al
modificar una constante en la expresión algebraica.
6. Asignar probabilidades a sucesos correspondientes a fenómenos
aleatorios simples y compuestos y utilizar técnicas estadísticas
elementales para tomar decisiones ante situaciones que se ajusten a una
distribución de probabilidad binomial o normal.
En este criterio se pretende medir la capacidad para determinar la
probabilidad de un suceso, utilizando diferentes técnicas, analizar una
situación y decidir la opción más conveniente. También se pretende
comprobar la capacidad para estimar y asociar los parámetros
relacionados con la correlación y la regresión con las situaciones y
relaciones que miden. |
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Matemáticas II
Contenidos
1. Álgebra lineal:
- Estudio de las matrices como herramienta para manejar y operar con
datos estructurados en tablas y grafos.
- Operaciones con matrices. Aplicación de las operaciones y de sus
propiedades en la resolución de problemas extraídos de contextos reales.
- Determinantes. Propiedades elementales de los determinantes. Rango de
una matriz.
- Discusión y resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
2. Geometría:
- Vectores en el espacio tridimensional. Producto escalar, vectorial y
mixto. Significado geométrico.
- Ecuaciones de la recta y el plano en el espacio. Resolución de
problemas de posiciones relativas. Resolución de problemas métricos
relacionados con el cálculo de ángulos, distancias, áreas y volúmenes.
3. Análisis:
- Concepto de límite de una función. Cálculo de límites.
- Continuidad de una función. Tipos de discontinuidad.
- Interpretación geométrica y física del concepto de derivada de una
función en un punto.
- Función derivada. Cálculo de derivadas. Derivada de la suma, el
producto y el cociente de funciones y de la función compuesta.
Aplicación de la derivada al estudio de las propiedades locales de una
función. Problemas de optimización.
- Introducción al concepto de integral definida a partir del cálculo de
áreas encerradas bajo una curva. Técnicas elementales para el cálculo de
primitivas. Aplicación al cálculo de áreas de regiones planas.
Criterios de evaluación
1. Utilizar el lenguaje matricial y las operaciones con matrices y
determinantes como instrumento para representar e interpretar datos y
relaciones y, en general, para resolver situaciones diversas.
Este criterio pretende comprobar la destreza para utilizar el lenguaje
matricial como herramienta algebraica, útil para expresar y resolver
problemas relacionados con la organización de datos; especialmente, si
son capaces de distinguir y aplicar, de forma adecuada al contexto,
operaciones elemento a elemento, operaciones con filas y columnas,
operaciones con submatrices y operaciones con la matriz como objeto
algebraico con identidad propia.
2. Transcribir situaciones de la geometría a un lenguaje vectorial en
tres dimensiones y utilizar las operaciones con vectores para resolver
los problemas extraídos de ellas, dando una interpretación de las
soluciones.
La finalidad de este criterio es evaluar la capacidad para utilizar el
lenguaje vectorial y las técnicas apropiadas en cada caso, como
instrumento para la interpretación de fenómenos diversos. Se pretende
valorar especialmente la capacidad para realizar transformaciones
sucesivas con objetos geométricos en el espacio de tres dimensiones.
3. Transcribir problemas reales a un lenguaje gráfico o algebraico,
utilizar conceptos, propiedades y técnicas matemáticas específicas en
cada caso para resolverlos y dar una interpretación de las soluciones
obtenidas ajustada al contexto.
Este criterio pretende evaluar la capacidad de representar un problema
en lenguaje algebraico o gráfico y resolverlo aplicando procedimientos
adecuados e interpretar críticamente la solución obtenida. Se trata de
evaluar la capacidad para elegir y emplear las herramientas adquiridas
en álgebra, geometría y análisis, y combinarlas adecuadamente.
4. Utilizar los conceptos, propiedades y procedimientos adecuados para
encontrar e interpretar características destacadas de funciones
expresadas algebraicamente en forma explícita.
Se pretende comprobar con este criterio que los alumnos son capaces de
utilizar los conceptos básicos del análisis y que han adquirido el
conocimiento de la terminología adecuada y los aplican adecuadamente al
estudio de una función concreta.
5. Aplicar el concepto y el cálculo de límites y derivadas al estudio de
fenómenos naturales y tecnológicos y a la resolución de problemas de
optimización.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para interpretar y aplicar a
situaciones del mundo natural, geométrico y tecnológico, la información
suministrada por el estudio de las funciones. En concreto, se pretende
comprobar la capacidad de extraer conclusiones detalladas y precisas
sobre su comportamiento local o global, traducir los resultados del
análisis al contexto del fenómeno, estático o dinámico, y encontrar
valores que optimicen algún criterio establecido.
6. Aplicar el cálculo de integrales en la medida de áreas de regiones
planas limitadas por rectas y curvas sencillas que sean fácilmente
representables.
Este criterio pretende evaluar la capacidad para medir el área de una
región plana mediante el cálculo integral, utilizando técnicas de
integración inmediata, integración por partes y cambios de variables
sencillos.
7. Realizar investigaciones en las que haya que organizar y codificar
informaciones, seleccionar, comparar y valorar estrategias para
enfrentarse a situaciones nuevas con eficacia, eligiendo las
herramientas matemáticas adecuadas en cada caso.
Se pretende evaluar la madurez del alumnado para enfrentarse a
situaciones nuevas procediendo a su observación, modelado, reflexión y
argumentación adecuada, usando las destrezas matemáticas adquiridas.
Tales situaciones no tienen que estar directamente relacionadas con
contenidos concretos; de hecho, se pretende evaluar la capacidad para
combinar diferentes herramientas y estrategias, independientemente del
contexto en el que se hayan adquirido. |